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# bend-ml-tensor: tensores com a shape no TIPO. Erro de shape é erro de tipo.## import bend-ml-tensor@0.1.0.0/main.bend as T## Vec<n> é um vetor de n números F32; Mat<r, c> é uma matriz r x c (lista de r# linhas com c números). As dimensões são parâmetros de tipo apagados: não custam# nada em tempo de execução, mas o checker as confere em toda operação.import Baseimport bend-ml-nat-lemmas@0.1.0.0/main.bend as NLtype Vec<-n: Nat> is Data: Vec{xs: List<&2, F32>}type Mat<-r: Nat, -c: Nat> is Data: Mat{rows: List<&2, List<&2, F32>>}# ---------------------------------------------------------------------# listas de F32 (internas; as operações públicas fixam as dimensões)# ---------------------------------------------------------------------def zip_with.add(xs: List<&2, F32>, ys: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs ys: case Con{+h, t} Con{+g, u}: (h + g : F32) <> zip_with.add(t, u) case _ _: Nil{}def zip_with.sub(xs: List<&2, F32>, ys: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs ys: case Con{+h, t} Con{+g, u}: (h - g : F32) <> zip_with.sub(t, u) case _ _: Nil{}def zip_with.mul(xs: List<&2, F32>, ys: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs ys: case Con{+h, t} Con{+g, u}: (h * g : F32) <> zip_with.mul(t, u) case _ _: Nil{}def scale.l(+k: F32, xs: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{+h, t}: (k * h : F32) <> scale.l(k, t)def dot.go(xs: List<&2, F32>, ys: List<&2, F32>, acc: F32) -> F32: match xs ys: case Con{+h, t} Con{+g, u}: dot.go(t, u, (acc + (h * g : F32) : F32)) case _ _: accdef sum.go(xs: List<&2, F32>, acc: F32) -> F32: match xs: case Nil{}: acc case Con{+h, t}: sum.go(t, (acc + h : F32))def relu.l(xs: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{+h, t}: F32.max(h, 0.0) <> relu.l(t)def fill.l(n: Nat, +v: F32) -> List<&2, F32>: match n: case 0n: Nil{} case 1n+p: v <> fill.l(p, v)# ---------------------------------------------------------------------# Vec# ---------------------------------------------------------------------def Vec.zeros(n: Nat) -> Vec<n>: Vec{fill.l(n, 0.0)}def Vec.fill(n: Nat, +v: F32) -> Vec<n>: Vec{fill.l(n, v)}def Vec.add(-n: Nat, a: Vec<n>, b: Vec<n>) -> Vec<n>: match a b: case Vec{xs} Vec{ys}: Vec{zip_with.add(xs, ys)}def Vec.sub(-n: Nat, a: Vec<n>, b: Vec<n>) -> Vec<n>: match a b: case Vec{xs} Vec{ys}: Vec{zip_with.sub(xs, ys)}def Vec.mul(-n: Nat, a: Vec<n>, b: Vec<n>) -> Vec<n>: match a b: case Vec{xs} Vec{ys}: Vec{zip_with.mul(xs, ys)}def Vec.scale(-n: Nat, +k: F32, a: Vec<n>) -> Vec<n>: match a: case Vec{xs}: Vec{scale.l(k, xs)}def Vec.dot(-n: Nat, a: Vec<n>, b: Vec<n>) -> F32: match a b: case Vec{xs} Vec{ys}: dot.go(xs, ys, 0.0)def Vec.sum(-n: Nat, a: Vec<n>) -> F32: match a: case Vec{xs}: sum.go(xs, 0.0)def Vec.relu(-n: Nat, a: Vec<n>) -> Vec<n>: match a: case Vec{xs}: Vec{relu.l(xs)}# ---------------------------------------------------------------------# listas de linhas (internas)# ---------------------------------------------------------------------def heads(rows: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, F32>: match rows: case Con{Con{+h, t}, rest}: h <> heads(rest) case _: Nil{}def tails(rows: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match rows: case Con{Con{h, t}, rest}: t <> tails(rest) case _: Nil{}# transposta de uma matriz com `c` colunas (c é quem encolhe, vem primeiro)def transpose.go(c: Nat, +rows: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match c: case 0n: Nil{} case 1n+p: heads(rows) <> transpose.go(p, tails(rows))def rows.zip_add(xs: List<&2, List<&2, F32>>, ys: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs ys: case Con{a, t} Con{b, u}: zip_with.add(a, b) <> rows.zip_add(t, u) case _ _: Nil{}def rows.zip_sub(xs: List<&2, List<&2, F32>>, ys: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs ys: case Con{a, t} Con{b, u}: zip_with.sub(a, b) <> rows.zip_sub(t, u) case _ _: Nil{}def rows.zip_mul(xs: List<&2, List<&2, F32>>, ys: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs ys: case Con{a, t} Con{b, u}: zip_with.mul(a, b) <> rows.zip_mul(t, u) case _ _: Nil{}def rows.scale(+k: F32, xs: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: scale.l(k, r) <> rows.scale(k, t)def rows.relu(xs: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: relu.l(r) <> rows.relu(t)# soma por colunasdef rows.col_sums(c: Nat, +rows: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, F32>: match c: case 0n: Nil{} case 1n+p: sum.go(heads(rows), 0.0) <> rows.col_sums(p, tails(rows))def rows.add_row(xs: List<&2, List<&2, F32>>, +b: List<&2, F32>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: zip_with.add(r, b) <> rows.add_row(t, b)def matmul.row(+ra: List<&2, F32>, bt: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, F32>: match bt: case Nil{}: Nil{} case Con{col, t}: dot.go(ra, col, 0.0) <> matmul.row(ra, t)def matmul.rows(a: List<&2, List<&2, F32>>, +bt: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match a: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: matmul.row(r, bt) <> matmul.rows(t, bt)# junta todas as linhas numa lista sódef flatten.l(rows: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, F32>: match rows: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: List.append(&2, F32, r, flatten.l(t))# quebra uma lista em r linhas de c númerosdef chunk.l(r: Nat, +c: Nat, +xs: List<&2, F32>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match r: case 0n: Nil{} case 1n+p: List.take(&2, F32, xs, c) <> chunk.l(p, c, List.drop(&2, F32, xs, c))# ---------------------------------------------------------------------# Mat# ---------------------------------------------------------------------def Mat.zeros(+r: Nat, +c: Nat) -> Mat<r, c>: Mat{chunk.l(r, c, fill.l(Nat.mul(r, c), 0.0))}def Mat.fill(+r: Nat, +c: Nat, +v: F32) -> Mat<r, c>: Mat{chunk.l(r, c, fill.l(Nat.mul(r, c), v))}def Mat.add(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>, b: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a b: case Mat{x} Mat{y}: Mat{rows.zip_add(x, y)}def Mat.sub(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>, b: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a b: case Mat{x} Mat{y}: Mat{rows.zip_sub(x, y)}# produto elemento a elemento (Hadamard)def Mat.mul(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>, b: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a b: case Mat{x} Mat{y}: Mat{rows.zip_mul(x, y)}def Mat.scale(-r: Nat, -c: Nat, +k: F32, a: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a: case Mat{x}: Mat{rows.scale(k, x)}def Mat.relu(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a: case Mat{x}: Mat{rows.relu(x)}def Mat.transpose(-r: Nat, +c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<c, r>: match a: case Mat{x}: Mat{transpose.go(c, x)}# (n x k) · (k x m) = (n x m): as dimensões internas têm que ser a mesma kdef Mat.matmul(-n: Nat, +k: Nat, +m: Nat, a: Mat<n, k>, b: Mat<k, m>) -> Mat<n, m>: match a b: case Mat{x} Mat{y}: Mat{matmul.rows(x, transpose.go(m, y))}# (n x k) · (m x k)ᵀ = (n x m): o segundo operando já vem TRANSPOSTO (guardado como# m linhas de k números). Evita transpor pesos grandes a cada chamada; o tipo# continua exigindo a mesma dimensão interna k.def Mat.matmul_t(-n: Nat, -k: Nat, -m: Nat, a: Mat<n, k>, bt: Mat<m, k>) -> Mat<n, m>: match a bt: case Mat{x} Mat{y}: Mat{matmul.rows(x, y)}# soma bias (um vetor de m números) a cada linha de uma matriz n x mdef Mat.add_row(-n: Nat, -m: Nat, a: Mat<n, m>, b: Vec<m>) -> Mat<n, m>: match a b: case Mat{x} Vec{v}: Mat{rows.add_row(x, v)}# soma de cada coluna: Mat<n, m> -> Vec<m>def Mat.col_sums(-n: Nat, +m: Nat, a: Mat<n, m>) -> Vec<m>: match a: case Mat{x}: Vec{rows.col_sums(m, x)}# matriz · vetor: (n x k) · k = ndef Mat.matvec(-n: Nat, +k: Nat, a: Mat<n, k>, v: Vec<k>) -> Vec<n>: match a v: case Mat{x} Vec{ys}: Vec{heads(matmul.rows(x, ys <> Nil{}))}# Reshape: só compila com a PROVA de que o número de elementos não muda.def Mat.reshape(-r1: Nat, -c1: Nat, r2: Nat, +c2: Nat, -p: {Nat.mul(r1, c1) == Nat.mul(r2, c2) : Nat}, a: Mat<r1, c1>) -> Mat<r2, c2>: match a: case Mat{x}: Mat{chunk.l(r2, c2, flatten.l(x))}# ---------------------------------------------------------------------# funções por linha: softmax, GELU, layernorm# ---------------------------------------------------------------------def max.go(xs: List<&2, F32>, cur: F32) -> F32: match xs: case Nil{}: cur case Con{+h, t}: max.go(t, F32.max(cur, h))def max.l(xs: List<&2, F32>) -> F32: match xs: case Nil{}: 0.0 case Con{+h, t}: max.go(t, h)def exp_shift(xs: List<&2, F32>, +m: F32) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{+h, t}: F32.exp((h - m : F32)) <> exp_shift(t, m)def div.l(xs: List<&2, F32>, +s: F32) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{+h, t}: (h / s : F32) <> div.l(t, s)# softmax estável: subtrai o máximo antes de exponenciardef softmax.fin(+es: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: div.l(es, sum.go(es, 0.0))def softmax.l(+xs: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: softmax.fin(exp_shift(xs, max.l(xs)))def rows.softmax(xs: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: softmax.l(r) <> rows.softmax(t)# GELU com a aproximação por tanh (a mesma do GPT-2)def gelu.f(+x: F32) -> F32: (0.5 * (x * (1.0 + F32.tanh((0.7978846 * (x + (0.044715 * (x * (x * x : F32) : F32) : F32) : F32) : F32)) : F32) : F32) : F32)def gelu.l(xs: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{h, t}: gelu.f(h) <> gelu.l(t)def rows.gelu(xs: List<&2, List<&2, F32>>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: gelu.l(r) <> rows.gelu(t)def sub_const(xs: List<&2, F32>, +k: F32) -> List<&2, F32>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{+h, t}: (h - k : F32) <> sub_const(t, k)def sq_sum(xs: List<&2, F32>, acc: F32) -> F32: match xs: case Nil{}: acc case Con{+h, t}: sq_sum(t, (acc + (h * h : F32) : F32))# (x - média) / sqrt(variância + eps), depois * gamma + betadef layernorm.fin(+cs: List<&2, F32>, +d: F32, +eps: F32, +gamma: List<&2, F32>, +beta: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: zip_with.add(zip_with.mul(scale.l((1.0 / F32.sqrt(((sq_sum(cs, 0.0) / d : F32) + eps : F32)) : F32), cs), gamma), beta)def layernorm.l(+xs: List<&2, F32>, +d: F32, +eps: F32, +gamma: List<&2, F32>, +beta: List<&2, F32>) -> List<&2, F32>: layernorm.fin(sub_const(xs, (sum.go(xs, 0.0) / d : F32)), d, eps, gamma, beta)def rows.layernorm(xs: List<&2, List<&2, F32>>, +d: F32, +eps: F32, +gamma: List<&2, F32>, +beta: List<&2, F32>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match xs: case Nil{}: Nil{} case Con{r, t}: layernorm.l(r, d, eps, gamma, beta) <> rows.layernorm(t, d, eps, gamma, beta)def Mat.softmax(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a: case Mat{x}: Mat{rows.softmax(x)}def Mat.gelu(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<r, c>: match a: case Mat{x}: Mat{rows.gelu(x)}# normaliza cada linha (d colunas) e aplica gamma e beta, vetores de d númerosdef Mat.layernorm(-n: Nat, d: Nat, eps: F32, g: Vec<d>, bt: Vec<d>, a: Mat<n, d>) -> Mat<n, d>: match g bt a: case Vec{gamma} Vec{beta} Mat{x}: Mat{rows.layernorm(x, F32.from_nat(d), eps, gamma, beta)}def Vec.softmax(-n: Nat, a: Vec<n>) -> Vec<n>: match a: case Vec{xs}: Vec{softmax.l(xs)}# ---------------------------------------------------------------------# construção e leitura com verificação de tamanho# ---------------------------------------------------------------------def len.eq(xs: List<&2, F32>, n: Nat) -> Bool: match xs n: case Nil{} 0n: True{} case Con{h, t} 1n+p: len.eq(t, p) case _ _: False{}def rows.ok(rs: List<&2, List<&2, F32>>, +c: Nat, r: Nat) -> Bool: match rs r: case Nil{} 0n: True{} case Con{row, t} 1n+p: Bool.and(len.eq(row, c), rows.ok(t, c, p)) case _ _: False{}def Vec.of2(-n: Nat, ok: Bool, xs: List<&2, F32>) -> Maybe<&2, Vec<n>>: match ok: case True{}: Some{Vec{xs}} case False{}: None{}# Vec<n> a partir de uma lista, só se ela tem exatamente n númerosdef Vec.of(n: Nat, +xs: List<&2, F32>) -> Maybe<&2, Vec<n>>: Vec.of2(n, len.eq(xs, n), xs)def Mat.of2(-r: Nat, -c: Nat, ok: Bool, rs: List<&2, List<&2, F32>>) -> Maybe<&2, Mat<r, c>>: match ok: case True{}: Some{Mat{rs}} case False{}: None{}# Mat<r, c> a partir de linhas, só se são exatamente r linhas de c númerosdef Mat.of(+r: Nat, +c: Nat, +rs: List<&2, List<&2, F32>>) -> Maybe<&2, Mat<r, c>>: Mat.of2(r, c, rows.ok(rs, c, r), rs)def Vec.to_list(-n: Nat, a: Vec<n>) -> List<&2, F32>: match a: case Vec{xs}: xsdef Mat.to_rows(-r: Nat, -c: Nat, a: Mat<r, c>) -> List<&2, List<&2, F32>>: match a: case Mat{x}: x# ---------------------------------------------------------------------# LAWS: quando um reshape é possível, e uma prova reaproveitada do nat-lemmas# ---------------------------------------------------------------------# LEI (reshape_swap): r x c e c x r têm o mesmo número de elementos# (a multiplicação é comutativa), então esse reshape sempre existe.law reshape_swap: for +r: Nat for +c: Nat {Nat.mul(r, c) == Nat.mul(c, r) : Nat}def reshape_swap(r, c): NL.mul_comm(r, c)# LEI (reshape_flat): r x c tem o mesmo número de elementos que 1 x (r*c)# (multiplicar por 1 não muda nada), então achatar uma matriz sempre existe.law reshape_flat: for +r: Nat for +c: Nat {Nat.mul(r, c) == Nat.mul(1n, Nat.mul(r, c)) : Nat}def reshape_flat(r, c): Equal.sym(Nat, Nat.mul(1n, Nat.mul(r, c)), Nat.mul(r, c), NL.mul_one_l(Nat.mul(r, c)))# Mat<r, c> -> Mat<1, r*c>: a prova vem da lei acimadef Mat.flatten(+r: Nat, +c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<1n, Nat.mul(r, c)>: Mat.reshape(r, c, 1n, Nat.mul(r, c), reshape_flat(r, c), a)# Mat<r, c> -> Mat<c, r> pelos mesmos dados (não é a transposta!): só reinterpretadef Mat.reshape_swap(+r: Nat, +c: Nat, a: Mat<r, c>) -> Mat<c, r>: Mat.reshape(r, c, c, r, reshape_swap(r, c), a)